ヤン–ミルズ・ラグランジアン

定義 2.6（「非可換ゲージ理論の量子化」§2）

$A_\mu=A^a_\mu t^a$ 、結合定数を $g$ とし、表現 $r$ の Dirac 場 $\psi$ に対して共変微分と場の強さを

D_\mu=\partial_\mu-igA^a_\mu t^a_r,\qquad F^a_{\mu\nu}=\partial_\mu A^a_\nu-\partial_\nu A^a_\mu+gf^{abc}A^b_\mu A^c_\nu

で定めます。ヤン–ミルズ理論（物質場を含む）のラグランジアン密度は

\mathcal L_{\mathrm{inv}}=-\frac14F^a_{\mu\nu}F^{a\mu\nu}+\bar\psi(i\not{D}-m)\psi

です。ゲージ変換は、 $\alpha^a(x)$ を実関数、 $V(x)=\exp(i\alpha^a(x)t^a)$ として

\psi\mapsto V\psi,\qquad A_\mu\mapsto VA_\mu V^{-1}-\frac ig(\partial_\mu V)V^{-1}

で、無限小では $\delta\psi=i\alpha^at^a\psi$ 、 $\delta A^a_\mu=\frac1gD^{ab}_\mu\alpha^b$ です。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。