ポアンカレ群とそのユニタリ表現

組 $(a,\Lambda)$（$a\in\mathbb{R}^4$、$\Lambda\in\mathcal{L}^\uparrow_+$）に積 $(a,\Lambda)(b,\Lambda') = (a + \Lambda b,\ \Lambda\Lambda')$ を入れた群を**（固有直交時）ポアンカレ群** $\mathcal{P}^\uparrow_+$ と呼びます。時空点には $x\mapsto\Lambda x + a$ と作用します。その普遍被覆 $\tilde{\mathcal{P}} = \mathbb{R}^4\rtimes\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ は、積 $(a,A)(b,B) = (a + \Lambda(A)b,\ AB)$ をもちます。

ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ 上の $\tilde{\mathcal{P}}$ の強連続ユニタリ表現 $U$ に対して、ストーンの定理により自己共役作用素 $P^\mu$（互いに可換）と $M^{\mu\nu} = -M^{\nu\mu}$ が存在して

と書けます。ここで $\Sigma^{\mu\nu}$ は $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ の元で、$\Lambda$ を通して $J^{\mu\nu}$ に写るもの（$(0,\tfrac12)$ 表現では $S^{\mu\nu}$ の下段）です。$P^0 = H$ をハミルトニアン、$\boldsymbol P$ を運動量、$J^i = \tfrac12\epsilon^{ijk}M^{jk}$ を角運動量、$K^i = M^{0i}$ をブーストの生成子と呼びます。