場の作用汎関数とラグランジアン密度

$\Omega \subset \mathbb{R}^4$ を時空の有界領域とし、その境界 $\partial\Omega$ は滑らかであるとします。$\phi_a : \Omega \to \mathbb{R}$（$a = 1,\dots,n$）を $C^2$ 級の場の組とします。

$\mathcal{L} = \mathcal{L}(\phi_a, \partial_\mu \phi_a)$ を、$n$ 個の実変数 $\phi_a$ と $4n$ 個の実変数 $\partial_\mu\phi_a$ の $C^2$ 級関数とし、これをラグランジアン密度と呼びます。このとき

を作用汎関数と呼びます。

ここで $\mathcal{L}$ が $\phi_a$ の 1 階微分までしか含まないこと、そして座標 $x$ に陽には依存しないことを仮定しています。前者は運動方程式を 2 階の微分方程式に保つための要請であり、後者は時空の並進対称性（外から与えられた背景が存在しないこと）の表明です。