被積分過程のクラスと単純過程

定義 4.1（「確率微分方程式」§4）

$\mathcal{L}^2[0,T]$ を、発展的可測な過程 $X = (X_t)_{t \in [0,T]}$ であって

\|X\|_{\mathcal{L}^2}^2 := \mathbb{E}\left[\int_0^T X_t^2\,dt\right] < \infty

を満たすもの全体（ $dt \otimes d\mathbb{P}$ -a.e. で一致するものを同一視）とします。これは積測度空間上の $L^2$ 空間の閉部分空間なので、ヒルベルト空間です。

$X \in \mathcal{L}^2[0,T]$ が単純過程であるとは、分割 $0 = t_0 < \cdots < t_n = T$ と、 $\mathcal{F}_{t_i}$ -可測かつ $\mathbb{E}[\xi_i^2] < \infty$ なる確率変数 $\xi_i$ が存在して

X_t(\omega) = \sum_{i=0}^{n-1} \xi_i(\omega)\, \mathbf{1}_{(t_i,\, t_{i+1}]}(t)

と書けることをいいます。単純過程全体を $\mathcal{S}$ と書きます。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。