確率測度と確率空間（コルモゴロフの公理）

$(\Omega, \mathcal{F})$ を可測空間とする。写像 $P : \mathcal{F} \to \mathbb{R}$ が次の $3$ 条件を満たすとき、$P$ を $(\Omega,\mathcal{F})$ 上の確率測度という。

• (P1) 非負性 すべての $A \in \mathcal{F}$ に対し $P(A) \ge 0$。
• (P2) 全確率 $P(\Omega) = 1$。
• (P3) 可算加法性（$\sigma$-加法性） $A_1, A_2, \ldots \in \mathcal{F}$ が互いに素（$i \neq j$ ならば $A_i \cap A_j = \emptyset$）ならば $$P\Bigl( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \Bigr) = \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n).$$

三つ組 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ を確率空間という。