数学 › 確率論 › Markov 連鎖と Poisson 過程

Dirichlet 形式の比較（Diaconis–Saloff-Coste）

定理 6.3（「Markov 連鎖と Poisson 過程」§6） ・ ✓公理まで証明済み

P,P~P,\tilde P をそれぞれ正の確率分布 π,π~\pi,\tilde\pi に関して可逆な SS 上の遷移行列とする。P~(x,y)>0\tilde P(x,y)>0、x≠yx\ne y なる各対 (x,y)(x,y) に、PP で実現可能な経路 γxy=(x=x0,x1,…,xk=y)\gamma_{xy}=(x=x_0,x_1,\dots,x_k=y)（P(xi−1,xi)>0P(x_{i-1},x_i)>0）を一つ選び、その長さを ∣γxy∣=k|\gamma_{xy}|=k と書く。

A=max⁡(z,w): P(z,w)>0, z≠w 1π(z)P(z,w)∑(x,y): γxy∋(z,w)∣γxy∣ π~(x)P~(x,y),a=min⁡xπ~(x)π(x)A=\max_{(z,w):\,P(z,w)>0,\ z\ne w}\ \frac1{\pi(z)P(z,w)}\sum_{(x,y):\ \gamma_{xy}\ni(z,w)}|\gamma_{xy}|\,\tilde\pi(x)\tilde P(x,y),\qquad a=\min_x\frac{\tilde\pi(x)}{\pi(x)}

とおく（和は、経路 γxy\gamma_{xy} が辺 (z,w)(z,w) を通る対にわたる）。このとき

EP~(f,f)≤A EP(f,f),λ(P)≥aA λ(P~).\mathcal{E}_{\tilde P}(f,f)\le A\,\mathcal{E}_P(f,f),\qquad\lambda(P)\ge\frac aA\,\lambda(\tilde P).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。