Godunov の次数の壁

$a \ne 0$、$\lambda = \Delta t/h$ を固定し、実数の係数 $a_k$（$-l \le k \le r$）が $h$ によらない定数係数の陽的スキーム $u^{n+1}_j = \sum_ka_ku^n_{j+k}$ を考える。

1. スキームが単調性を保つことと、すべての $k$ で $a_k \ge 0$ であることは同値である。
2. 3 階までの導関数が有界なすべての $u_0 \in C^3(\mathbb{R})$ について、移流方程式 $u_t + au_x = 0$ に対する局所打ち切り誤差が $\sup|\tau| \le ch^2$（$c$ は $u_0$ による定数）を満たす（2 次精度）ならば、$\sum_ka_k = 1$、$\sum_kka_k = -\nu$、$\sum_kk^2a_k = \nu^2$ である。
3. 1 と 2 の両方が成り立つのは、$\nu = a\lambda$ が整数で、スキームが $u^{n+1}_j = u^n_{j-\nu}$（厳密解そのもの）である場合に限る。したがって、それ以外の単調性を保つ線形スキームは 2 次精度になりえない。