標準模型のアノマリーの相殺

定義 2.1 の 1 世代の場について、次の和はすべて $0$ である。

1. $[\mathrm{SU}(3)]^2\mathrm U(1)$：$\sum_{\text{色}\,\mathbf 3,\bar{\mathbf 3}}Y=2\cdot\tfrac16+\bigl(-\tfrac23\bigr)+\tfrac13$（$\mathrm{SU}(2)$ 二重項は成分 $2$ 個で数える）。
2. $[\mathrm{SU}(2)]^2\mathrm U(1)$：$\sum_{\text{二重項}}Y=3\cdot\tfrac16+\bigl(-\tfrac12\bigr)$（$Q_L$ は色 $3$ 個）。
3. $\mathrm U(1)^3$：$\sum Y^3$。
4. 重力–重力–$\mathrm U(1)$：$\sum Y$。

さらに、$\mathrm{SU}(3)^3$ のアノマリーは $\mathbf 3$ が $2$ 個（$Q_L$ の二重項）、$\bar{\mathbf 3}$ が $2$ 個（$u^c,d^c$）で相殺し、$\mathrm{SU}(2)^3$ のアノマリーは $\mathrm{SU}(2)$ の表現が実または擬実なので存在しない。