数学 › 数値線形代数 › Krylov 部分空間法 I

最急降下法の収束

命題 5.5（「Krylov 部分空間法 I」§5） ・ ✓公理まで証明済み

最急降下法 xk+1=xk+αkrk\boldsymbol{x}_{k+1} = \boldsymbol{x}_k + \alpha_k\boldsymbol{r}_k、αk=rk∗rk/rk∗Ark\alpha_k = \boldsymbol{r}_k^{*}\boldsymbol{r}_k/\boldsymbol{r}_k^{*}A\boldsymbol{r}_k（rk=b−Axk≠0\boldsymbol{r}_k = \boldsymbol{b} - A\boldsymbol{x}_k \ne \boldsymbol{0}）の誤差は

∥ek+1∥A≤κ−1κ+1∥ek∥A\|\boldsymbol{e}_{k+1}\|_A \le \frac{\kappa - 1}{\kappa + 1}\|\boldsymbol{e}_k\|_A

を満たす。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。