数学 › 数値線形代数 › Krylov 部分空間法 I

共役勾配法

定義 5.1（「Krylov 部分空間法 I」§5）

x0∈Cn\boldsymbol{x}_0 \in \mathbb{C}^n から r0=b−Ax0\boldsymbol{r}_0 = \boldsymbol{b} - A\boldsymbol{x}_0、p0=r0\boldsymbol{p}_0 = \boldsymbol{r}_0 とし、rk≠0\boldsymbol{r}_k \ne \boldsymbol{0} である限り

αk=rk∗rkpk∗Apk,xk+1=xk+αkpk,rk+1=rk−αkApk,βk=rk+1∗rk+1rk∗rk,pk+1=rk+1+βkpk\begin{aligned} \alpha_k &= \frac{\boldsymbol{r}_k^{*}\boldsymbol{r}_k}{\boldsymbol{p}_k^{*}A\boldsymbol{p}_k}, & \boldsymbol{x}_{k+1} &= \boldsymbol{x}_k + \alpha_k\boldsymbol{p}_k, & \boldsymbol{r}_{k+1} &= \boldsymbol{r}_k - \alpha_kA\boldsymbol{p}_k,\\ \beta_k &= \frac{\boldsymbol{r}_{k+1}^{*}\boldsymbol{r}_{k+1}}{\boldsymbol{r}_k^{*}\boldsymbol{r}_k}, & \boldsymbol{p}_{k+1} &= \boldsymbol{r}_{k+1} + \beta_k\boldsymbol{p}_k && \end{aligned}

を繰り返す。rk=0\boldsymbol{r}_k = \boldsymbol{0} になったら止める。これを共役勾配法（CG 法）という。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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