モジュラーな楕円曲線

$E$ を $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線、$N$ をその導手とします。素数 $\ell \nmid N$ に対し $a_\ell(E) = \ell + 1 - \#\tilde{E}(\mathbb{F}_\ell)$ とおきます（定義 4.4）。$E$ がモジュラーであるとは、レベル $N$ の新形式（定義 5.9）$f = \sum_{n \ge 1} a_n q^n \in S_2(\Gamma_0(N))$ が存在して、すべての素数 $\ell \nmid N$ について $a_\ell = a_\ell(E)$ が成り立つことをいいます。