変分と停留経路

$C^2$ 級曲線 $q$ と、両端で消える $C^2$ 級関数 $\eta: [t_1,t_2] \to \mathbb{R}^n$（すなわち $\eta(t_1) = \eta(t_2) = 0$）を取る。実数 $\varepsilon$ に対し $q_\varepsilon = q + \varepsilon\eta$ とおくと、$q_\varepsilon$ も同じ両端条件をみたす。このとき

を $S$ の第一変分という。すべての上記 $\eta$ に対して $\delta S[q;\eta] = 0$ が成り立つとき、$q$ を $S$ の停留経路という。