数学 › 数理統計学 › 点推定と漸近理論

事前分布・事後分布・ベイズ推定量

定義 8.1（「点推定と漸近理論」§8）

母数空間 Θ\Theta 上の確率測度 π\pi（密度 π(θ)\pi(\theta)）を事前分布とし、θ∼π\theta\sim\pi のもとで X∣θ∼f(⋅∣θ)X\mid\theta\sim f(\cdot\mid\theta) とする。観測 xx を与えたときの θ\theta の条件付き分布を事後分布といい、その密度は

π(θ∣x)=f(x∣θ)π(θ)∫f(x∣θ′)π(θ′) dθ′ ∝ f(x∣θ) π(θ)\pi(\theta\mid x)=\frac{f(x\mid\theta)\pi(\theta)}{\int f(x\mid\theta')\pi(\theta')\,d\theta'}\ \propto\ f(x\mid\theta)\,\pi(\theta)

（ベイズの定理）。損失 L(θ,d)L(\theta,d) のもとで、ベイズリスク r(π,δ)=E[L(θ,δ(X))]r(\pi,\delta)=E[L(\theta,\delta(X))]（θ\theta と XX の同時分布にわたる期待値）を最小にする推定量 δ\delta をベイズ推定量という。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。