リー環

体 $\mathbb{K}$ 上のベクトル空間 $\mathfrak{g}$ と双線形写像 $[\cdot,\cdot] \colon \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$ の組がリー環であるとは、次の 2 条件を満たすことをいいます。

1. 交代性：すべての $X \in \mathfrak{g}$ に対し $[X,X] = 0$（双線形性と合わせると $[X,Y] = -[Y,X]$ が従う）。
2. ヤコビ恒等式：すべての $X,Y,Z \in \mathfrak{g}$ に対し

この $[\cdot,\cdot]$ をブラケットまたは括弧積と呼びます。$\mathbb{K} = \mathbb{R}$ のとき実リー環といいます。