数学 › 多様体論 › ベクトル場と微分形式

kk 次微分形式

定義 6.1（「ベクトル場と微分形式」§6）

MM 上の**kk 次微分形式**とは、バンドル ΛkT∗M:=∐p∈MΛk(TpM)∗\Lambda^kT^*M := \coprod_{p\in M}\Lambda^k(T_pM)^* の滑らかな切断のことである。すなわち各点 pp に ωp∈Λk(TpM)∗\omega_p\in\Lambda^k(T_pM)^* を割り当てる対応であって、任意のチャート (U,x)(U,x) 上で

ω=∑I′ωI dxI=∑1≤i1<⋯<ik≤nωi1⋯ik dxi1∧⋯∧dxik\omega = \sum'_{I} \omega_I\, dx^{I} = \sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n} \omega_{i_1\cdots i_k}\, dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}

と表したときの係数 ωI\omega_I がすべて C∞(U)C^\infty(U) に属するものをいう。その全体を Ωk(M)\Omega^k(M) と書く。Ω0(M):=C∞(M)\Omega^0(M) := C^\infty(M) とし、k>nk>n では Ωk(M)={0}\Omega^k(M)=\{0\} である。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。