ZFC の公理

1. 外延性：$\forall x\,\forall y\,\bigl(\forall z\,(z\in x\leftrightarrow z\in y)\to x=y\bigr)$。同じ元をもつ集合は等しい。
2. 空集合：元をもたない集合 $\varnothing$ が存在する。
3. 対：任意の $a,b$ に対し、元がちょうど $a,b$ である集合 $\{a,b\}$ が存在する。
4. 和集合：任意の $x$ に対し、$x$ の元の元全体からなる集合 $\bigcup x$ が存在する。
5. 冪集合：任意の $x$ に対し、$x$ の部分集合全体からなる集合 $\mathcal{P}(x)$ が存在する。
6. 分出（図式）：各論理式 $\varphi(z,\vec p)$ ごとに、任意の $x$ と $\vec p$ に対して $\{z\in x\mid \varphi(z,\vec p)\}$ が存在する。
7. 置換（図式）：各論理式 $\varphi(u,v,\vec p)$ ごとに、$\varphi$ が $x$ 上で関数的（各 $u\in x$ に対して $\varphi(u,v)$ を満たす $v$ がただ一つ）ならば、その $v$ 全体の集合 $\{v\mid \exists u\in x\ \varphi(u,v)\}$ が存在する。
8. 無限：$\varnothing\in I$ かつ $\forall y\,(y\in I\to y\cup\{y\}\in I)$ を満たす集合 $I$ が存在する。
9. 正則性（基礎）：空でない任意の $x$ は、$x$ と共通部分をもたない元 $y\in x$（$y\cap x=\varnothing$）をもつ。

これらを ZF と呼び、ZF に次を加えたものを ZFC と呼ぶ。

10. 選択：空でない集合からなる任意の集合 $x$ に対し、各 $y\in x$ に $y$ の元 $f(y)\in y$ を対応させる関数 $f$ が存在する。