線形写像

$V, W$ を同じ体 $K$ 上のベクトル空間とする。写像 $f : V \to W$ が次の 2 条件を満たすとき、$f$ を線形写像という。

• 加法性: 任意の $\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v} \in V$ に対し $f(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}) = f(\boldsymbol{u}) + f(\boldsymbol{v})$
• 斉次性: 任意の $a \in K$ と $\boldsymbol{v} \in V$ に対し $f(a\boldsymbol{v}) = a f(\boldsymbol{v})$

とくに $V = W$ のとき $f$ を $V$ 上の線形変換（一次変換）という。