基底変換行列

$V$ を $n$ 次元 $K$ ベクトル空間、$\mathcal{B} = (\boldsymbol{e}_1, \ldots, \boldsymbol{e}_n)$ と $\mathcal{B}' = (\boldsymbol{e}'_1, \ldots, \boldsymbol{e}'_n)$ をその 2 組の順序基底とする。各 $\boldsymbol{e}'_j$ を $\mathcal{B}$ で展開して

と書くとき、$P = (p_{ij}) \in M_n(K)$ を $\mathcal{B}'$ から $\mathcal{B}$ への基底変換行列という。定義から $P = M_{\mathcal{B}\mathcal{B}'}(\mathrm{id}_V)$ である。