分数型漸化式

$p,q,r,s$ を複素数とし、$r\ne0$、$ps-qr\ne0$ とする。数列 $(a_n)$ が $a_{n+1}=\dfrac{pa_n+q}{ra_n+s}$（すべての項で分母が $0$ でない）を満たすとし、$\lambda$ を固定点（$\lambda=\tfrac{p\lambda+q}{r\lambda+s}$、すなわち $r\lambda^2+(s-p)\lambda-q=0$ の解）とする。

1. 異なる 2 つの固定点 $\lambda_1,\lambda_2$ があるとき、$\kappa=\dfrac{p-r\lambda_1}{p-r\lambda_2}$ とすると、$\dfrac{a_{n}-\lambda_1}{a_{n}-\lambda_2}=\kappa^{n}\,\dfrac{a_0-\lambda_1}{a_0-\lambda_2}$（$a_n\ne\lambda_2$）。
2. 固定点が重解 $\lambda$ のとき、$\dfrac1{a_{n+1}-\lambda}=\dfrac1{a_n-\lambda}+\dfrac{r}{p-r\lambda}$（$a_n\ne\lambda$）。すなわち $\dfrac1{a_n-\lambda}$ は等差数列である。