Dirichlet 指標

$q\ge1$ を整数とする。$(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times$ の指標 $\chi'\in\widehat{(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^\times}$ から

で定まる関数 $\chi:\mathbb{Z}\to\mathbb{C}$ を、法 $q$ の Dirichlet 指標という。$\chi$ は周期 $q$ をもち、完全乗法的（$\chi(mn)=\chi(m)\chi(n)$）である。

• $\chi'=\chi_0$ から定まるものを法 $q$ の主指標といい、同じ記号 $\chi_0$ で書く（$\gcd(n,q)=1$ で $1$、それ以外で $0$）。
• 値がすべて実数（$0,\pm1$）のとき実指標という。
• $d\mid q$ と法 $d$ の指標 $\chi^{*}$ について、$\gcd(n,q)=1$ を満たすすべての $n$ で $\chi(n)=\chi^{*}(n)$ となるとき、$\chi$ は $\chi^{*}$ から誘導されるという。$\chi$ を誘導する指標の法 $d$ のうち最小のものを $\chi$ の導手という。導手が $q$ に等しいとき $\chi$ は原始的であるという。