幅

$M$ を連結で向き付け可能な閉 $3$ 次元多様体で $\pi_3(M)\ne0$ を満たすものとし、$\beta\in\pi_3(M)$ を自明でない元とする。連続写像 $\sigma\colon S^2\times[0,1]\to M$ で、$\sigma(\cdot,0)$ と $\sigma(\cdot,1)$ が定値写像、各 $\sigma(\cdot,s)$ が Sobolev 空間 $W^{1,2}$ に属し $s$ について連続で、$S^2\times[0,1]$ の両端をそれぞれ 1 点につぶして得られる写像 $S^3\to M$ が $\beta$ を代表するものを、$\beta$ の掃き出しという。Riemann 計量 $g$ に対し

を $(M,g)$ の（$\beta$ についての）幅という。下限は $\beta$ の掃き出し全体で取る。