δ-切断による手術

$r\gt0$（標準近傍のスケール）と小さい $\delta\gt0$ を取り、$\rho=\delta r$ と置く。$h\in(0,\delta\rho)$ を、「境界が $\Omega_\rho$ にある $\varepsilon$-角の中の点 $x$ で $\bar R(x)^{-1/2}\le h$ となるものは、強い $\delta$-首の中心である」ように選ぶ（第 2 論文 4.3 節の補題で存在が示される）。特異時刻 $T$ での手術を次の操作と定める。

1. $\Omega_\rho$ が空なら、何も残さない（流れは時刻 $T$ で消滅したという）。
2. $\Omega_\rho$ が空でなければ、$\Omega_\rho$ と交わらない $\Omega$ の成分を捨てる。残った各成分の各 $\varepsilon$-角について、半径 $h$ の $\delta$-首を 1 つ選び、その中央の $2$ 次元球面で切って、角の先の側を捨て、切り口に標準的な帽子（$3$ 次元球体の上の、曲率の pinching を保つように作った回転対称な計量）を貼る。
3. こうして得た閉多様体の成分のうち、丸い球面の商に $\varepsilon$-近いものは捨てる（消滅したとみなす）。