残差を外力と定めれば方程式は成り立つ

命題 4.1（「Navier–Stokes 方程式 III」§4）・ ✓公理まで証明済み

(i) $I$ を区間、 $u$ を $\mathbb{R}^3\times I$ 上の滑らかな発散なしベクトル場、 $p$ を滑らかな関数とする。 $f:=R_\nu(u,p)$ とおくと、 $(u,p)$ は外力 $f$ の Navier–Stokes 方程式の滑らかな解である。

(ii) さらに $w$ を滑らかな発散なしベクトル場、 $\pi$ を滑らかな関数とすると、 $\nu=1$ で

R(u+w,p+\pi)=R(u,p)+L_u(w,\pi)+\operatorname{div}(w\otimes w),\qquad L_u(w,\pi)=\partial_tw+(u\cdot\nabla)w+(w\cdot\nabla)u-\Delta w+\nabla\pi,

ここで $(\operatorname{div}(w\otimes w))_j=\partial_i(w_iw_j)$ である（原稿 §3.3 の増分の恒等式）。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。