Pólya の再帰定理

$(S_n)_{n\ge0}$ を $\mathbb{Z}^d$ 上の単純ランダムウォーク（$S_0=0$、独立な増分 $X_j$ は $\pm e_1,\dots,\pm e_d$ を確率 $1/(2d)$ ずつ取る）とし、$\varphi(k)=\frac1d\sum_{i=1}^d\cos k_i$ とおく。

1. 原点への期待訪問回数は $G_d:=\sum_{n\ge0}P(S_n=0)=\dfrac1{(2\pi)^d}\displaystyle\int_{[-\pi,\pi]^d}\frac{dk}{1-\varphi(k)}\in(0,\infty]$ であり、$G_d=\infty$ となるのは $d\le2$ のときに限る。
2. 原点に戻る確率 $F=P(\exists n\ge1,\ S_n=0)$ について、$F=1\iff G_d=\infty$。とくに $d\le2$ のウォークは確率 $1$ で原点に戻る（再帰的）。