Einstein–Hilbert 作用と物質の作用

定義 4.3（「Einstein 方程式」§4）

領域 $\mathcal{U}\subset M$ で

S_{\mathrm{EH}}[g]=\frac{c^3}{16\pi G}\int_{\mathcal{U}}R\,\sqrt{-g}\;d^4x,\qquad d^4x=dx^0dx^1dx^2dx^3

を Einstein–Hilbert 作用という。物質の作用 $S_{\mathrm{m}}[g,\psi]$ （ $\psi$ は物質場）に対し、エネルギー・運動量テンソルを、計量の変分に対する応答として

\delta S_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2c}\int_{\mathcal{U}}T^{\mu\nu}\,\delta g_{\mu\nu}\,\sqrt{-g}\;d^4x

で定義する（ $\delta g_{\mu\nu}$ は $\mathcal{U}$ の内部にコンパクトな台をもつ変分）。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。