作用素の和・スカラー倍・積・逆

$\mathcal{H}$ における線形作用素 $S,T$ と $\alpha\in\mathbb{C}$ について、

• $D(S+T)=D(S)\cap D(T)$、$(S+T)x=Sx+Tx$
• $D(\alpha T)=D(T)$、$(\alpha T)x=\alpha(Tx)$
• $D(ST)=\{x\in D(T): Tx\in D(S)\}$、$(ST)x=S(Tx)$
• $T$ が単射のとき、$D(T^{-1})=\mathrm{Ran}(T)$、$T^{-1}(Tx)=x$

と定める。$z\in\mathbb{C}$ について $T-z$ は $T-z1$ を意味し、$D(T-z)=D(T)$ である。