掛け算模型とユニタリ同値

$\mu_1,\mu_2,\ldots$ を $\mathbb{R}$ 上の局所有限なボレル測度（$0$ も許す）とし、

とおく。$\mathcal{M}$ 上の掛け算作用素 $M_\lambda$ を

で定め、ボレル集合 $B$ について $P(B)g=(\mathbf{1}_Bg_k)_k$ とおく。組 $(\mathcal{M},M_\lambda)$ を掛け算模型という。$\mu$ が局所有限でボレル集合 $E\subset\mathbb{R}$ を取るとき、$L^2(E,\mu)$ は $L^2(\mathbb{R},\mathbf{1}_E\mu)$、すなわち $E$ の外で $0$ になる $L^2(\mu)$ の元の空間と同一視する。

自己共役作用素 $H$（空間 $\mathcal{H}$）と $K$（空間 $\mathcal{K}$）がユニタリ同値であるとは、ユニタリ作用素 $W:\mathcal{H}\to\mathcal{K}$ で $WD(H)=D(K)$ かつ $WHW^{-1}=K$ となるものが存在することをいい、$H\cong K$ と書く。