対称・自己共役・本質的自己共役

稠密な定義域をもつ作用素 $A$ が対称であるとは、すべての $\varphi,\psi\in D(A)$ について $\langle \varphi, A\psi\rangle = \langle A\varphi,\psi\rangle$ が成り立つこと、すなわち $A\subset A^*$ であることをいう。$A = A^*$ のとき $A$ は自己共役であるという。対称作用素 $A$ の閉包 $\bar{A}$ が自己共役であるとき、$A$ は本質的自己共役であるという。自己共役作用素 $T$ と部分空間 $D\subset D(T)$ について、$T|_D$ が本質的自己共役であるとき $D$ を $T$ の芯（core）という。作用素 $A$ が下に有界であるとは、ある $\gamma\in\mathbb{R}$ があってすべての $\psi\in D(A)$ について $\langle\psi, A\psi\rangle \ge \gamma\|\psi\|^2$ となることをいい、$A\ge\gamma$ と書く。