内積空間

複素ベクトル空間 $V$ 上の写像 $\langle\cdot,\cdot\rangle : V\times V\to\mathbb{C}$ が次を満たすとき、内積といい、組 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ を内積空間（前 Hilbert 空間）という。すべての $x,y,z\in V$、$\alpha,\beta\in\mathbb{C}$ に対して

1. $\langle x, \alpha y + \beta z\rangle = \alpha\langle x,y\rangle + \beta\langle x,z\rangle$（第 2 変数について線形）
2. $\langle y, x\rangle = \overline{\langle x, y\rangle}$（エルミート対称性）
3. $\langle x, x\rangle \ge 0$ であり、$\langle x,x\rangle = 0$ となるのは $x = 0$ のときに限る（正定値性）

1 と 2 から、第 1 変数については共役線形 $\langle \alpha x + \beta y, z\rangle = \bar\alpha\langle x,z\rangle + \bar\beta\langle y,z\rangle$ である。$\|x\| = \langle x,x\rangle^{1/2}$ と置く。