ノルム空間・Banach 空間

$\mathbb{K}$ 上のベクトル空間 $X$ 上の関数 $\|\cdot\|:X\to[0,\infty)$ が、すべての $x,y\in X$、$\alpha\in\mathbb{K}$ について

1. $\|x\| = 0\iff x = 0$
2. $\|\alpha x\| = |\alpha|\,\|x\|$
3. $\|x + y\|\le\|x\| + \|y\|$

を満たすときノルムといい、$(X,\|\cdot\|)$ をノルム空間という。1 を外して 2, 3 だけを満たすものを半ノルムという。ノルム空間が距離 $d(x,y) = \|x - y\|$ について完備であるとき、Banach 空間という。