グラフと閉作用素

ノルム空間 $X, Y$ と線形写像 $T:D(T)\to Y$（$D(T)\subset X$ は部分空間）に対し、$G(T) = \{(x, Tx) : x\in D(T)\}\subset X\times Y$ を $T$ のグラフという。$X\times Y$ にはノルム $\|(x,y)\| = \|x\| + \|y\|$ を入れる。$G(T)$ が $X\times Y$ で閉であるとき、$T$ は閉であるという。すなわち、$x_n\in D(T)$, $x_n\to x$, $Tx_n\to y$ ならば $x\in D(T)$ かつ $Tx = y$ となることである。