ペアノの公理

集合 $\mathbb{N}$、その元 $1$、および写像 $s : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ が次を満たすとする。

1. $1 \in \mathbb{N}$。
2. 任意の $n \in \mathbb{N}$ に対し $s(n) \in \mathbb{N}$。
3. 任意の $n \in \mathbb{N}$ に対し $s(n) \ne 1$（$1$ はどの数の後者でもない）。
4. 任意の $m, n \in \mathbb{N}$ に対し、$s(m) = s(n)$ ならば $m = n$（$s$ は単射）。
5. （帰納法の公理）$S \subseteq \mathbb{N}$ が「$1 \in S$」かつ「$n \in S$ ならば $s(n) \in S$」を満たすならば、$S = \mathbb{N}$ である。

このとき $(\mathbb{N}, 1, s)$ を自然数の体系という。