原始元・原始多項式・離散対数・Zech 対数

定義 3.1（「有限体の構造」§3）

巡回群 $\mathbb{F}_q^{\times}$ の生成元を $\mathbb{F}_q$ の原始元という。
$\mathbb{F}_q$ 上の次数 $n$ のモニックな既約多項式 $f$ が原始多項式であるとは、 $\mathbb{F}_{q^n}$ における $f$ の根が $\mathbb{F}_{q^n}$ の原始元であることをいう（ $f$ が $\mathbb{F}_{q^n}$ に根をもち、根がすべて同じ位数をもつことは定理 5.1 で示す）。
原始元 $\gamma$ を固定する。 $a \in \mathbb{F}_q^{\times}$ に対し、 $a = \gamma^{j}$ となる $j \in \{0, 1, \ldots, q - 2\}$ がただ 1 つある。これを $a$ の（ $\gamma$ を底とする）離散対数といい $\log_\gamma a$ と書く。
$j \in \{0, \ldots, q-2\}$ で $1 + \gamma^j \ne 0$ のとき、 $1 + \gamma^j = \gamma^{Z(j)}$ で定まる $Z(j) \in \{0, \ldots, q - 2\}$ を Zech 対数という。 $1 + \gamma^j = 0$ のときは $Z(j) = \infty$ と書く。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。