Hamming 符号・単体符号

$r \ge 2$ とし、$n = (q^r - 1)/(q - 1)$ とする。$\mathbb{F}_q^{\,r}$ の 1 次元部分空間のそれぞれから $\boldsymbol{0}$ でないベクトルを 1 つずつ選び、それらを列として並べた $r \times n$ 行列を $H_r$ とする。$H_r$ を検査行列とする符号 $\mathrm{Ham}(r, q) = \{\boldsymbol{x} \in \mathbb{F}_q^n : H_r\boldsymbol{x}^{\mathsf{T}} = \boldsymbol{0}\}$ を Hamming 符号、その双対符号を単体符号（シンプレックス符号）という。