双対符号・検査行列

定義 3.4（「線形符号」§3）

線形符号 $C \subseteq \mathbb{F}_q^n$ に対し

C^{\perp} = \{\, \boldsymbol{y} \in \mathbb{F}_q^n : \boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y} = 0\ (\forall \boldsymbol{x} \in C) \,\}

を $C$ の双対符号という。 $C \subseteq C^{\perp}$ のとき $C$ は自己直交、 $C = C^{\perp}$ のとき自己双対であるという。

行が一次独立な行列 $H$ が $C = \{\boldsymbol{x} \in \mathbb{F}_q^n : H\boldsymbol{x}^{\mathsf{T}} = \boldsymbol{0}\}$ を満たすとき、 $H$ を $C$ の検査行列という。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。