鉛直方向にコンパクトな台・ファイバーに沿った積分

$\pi\colon E\to M$ を階数 $r$ の向き付きベクトル束とする。

1. $E$ 上の微分形式 $\omega$ が鉛直方向にコンパクトな台を持つとは、$M$ の任意のコンパクト集合 $K$ に対し $\operatorname{supp}\omega\cap\pi^{-1}(K)$ がコンパクトであることをいう。そのような $k$ 形式の全体を $\Omega^k_{cv}(E)$ と書く。外微分で閉じているので複体をなし、そのコホモロジーを $H^k_{cv}(E)$ と書く。
2. $\omega\in\Omega^{k+r}_{cv}(E)$（$k\ge0$）に対し、$M$ 上の $k$ 形式 $\pi_{*}\omega$ を次で定める。$x\in M$、$v_1,\dots,v_k\in T_xM$ に対し、各点 $e\in E_x$ で $d\pi(\tilde v_i)=v_i$ となる持ち上げ $\tilde v_i\in T_eE$ を取り、ファイバー $E_x$ 上の $r$ 形式 $\omega^{v}$ を $\omega^{v}_e(w_1,\dots,w_r)=\omega_e(\tilde v_1,\dots,\tilde v_k,w_1,\dots,w_r)$（$w_j\in T_e(E_x)$）と定めて $$(\pi_{*}\omega)_x(v_1,\dots,v_k)=\int_{E_x}\omega^{v}$$ とおく。$k<0$ のときは $\pi_{*}\omega=0$ とする。$\pi_{*}$ をファイバーに沿った積分という。