Milnor の多様体

整数 $h,j$ に対し、$\mathbb{H}\times S^3$ のコピー 2 つを、$(\mathbb{H}\setminus0)\times S^3$ の微分同相

で貼り合わせた 7 次元多様体を $M_{h,j}$ と書く。同じ式で $v,v'\in D^4$ としたもの（$\mathbb{H}\times D^4$ のコピー 2 つを貼り合わせた 8 次元の境界付き多様体）を $B_{h,j}$ と書く。$\partial B_{h,j}=M_{h,j}$ で、$v,v'\in\mathbb{H}$ としたものは $S^4$ 上の階数 $4$ の実ベクトル束 $\xi_{h,j}$ である。