枠付き部分多様体と枠付き同境

$M$ を閉 $m$ 次元多様体とする。

1. $M$ の余次元 $k$ の閉部分多様体 $N$（コンパクトで境界のない部分多様体。空でもよい）と、法束 $\nu(N\subset M)=TM|_N/TN$ の滑らかな切断の組 $v=(v^1,\dots,v^k)$ で各点で基底をなすもの（法枠）の対 $(N,v)$ を、枠付き部分多様体という。
2. 枠付き部分多様体 $(N_0,v_0)$、$(N_1,v_1)$ の間の枠付き同境とは、$M\times[0,1]$ のコンパクトな境界付き部分多様体 $X$ とその法枠 $u$ の対で、ある $\varepsilon\gt0$ について $$X\cap\bigl(M\times[0,\varepsilon)\bigr)=N_0\times[0,\varepsilon),\qquad X\cap\bigl(M\times(1-\varepsilon,1]\bigr)=N_1\times(1-\varepsilon,1],$$ $\partial X=N_0\times0\sqcup N_1\times1$ であり、$u$ がこの両端の部分で $t$ によらず $v_0$、$v_1$ に一致するものをいう。