平行なベクトル場と平行移動

$\gamma\colon I\to M$ に沿ったベクトル場 $V$ が $D_tV=0$ を満たすとき、$V$ は $\gamma$ に沿って平行であるという。$t_0,t_1\in I$ と $v\in T_{\gamma(t_0)}M$ に対し、$V(t_0)=v$ となる平行な $V$ の値 $V(t_1)$ を対応させる写像 $P_{t_0\to t_1}^\gamma\colon T_{\gamma(t_0)}M\to T_{\gamma(t_1)}M$ を平行移動という。