数学 › 微分幾何学 › Riemann 計量と Levi-Civita 接続

アフィン接続（共変微分）

定義 4.1（「Riemann 計量と Levi-Civita 接続」§4）

MM 上のアフィン接続とは、写像 ∇ ⁣:X(M)×X(M)→X(M)\nabla\colon\mathfrak{X}(M)\times\mathfrak{X}(M)\to\mathfrak{X}(M)、(X,Y)↦∇XY(X,Y)\mapsto\nabla_XY で、次を満たすものをいう。

  1. XX について C∞(M)C^\infty(M) 線形：∇fX+gX′Y=f∇XY+g∇X′Y\nabla_{fX+gX'}Y=f\nabla_XY+g\nabla_{X'}Y。
  2. YY について R\mathbb{R} 線形。
  3. Leibniz 則：∇X(fY)=(Xf) Y+f ∇XY\nabla_X(fY)=(Xf)\,Y+f\,\nabla_XY。

∇XY\nabla_XY を YY の XX 方向の共変微分という。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。