共形変換・共形写像

$M$ 上の二つの Riemann 計量 $g,\tilde g$ が共形同値であるとは、滑らかな関数 $f$ で $\tilde g=e^{2f}g$ となるものがあることをいい、$g\mapsto e^{2f}g$ を共形変換（計量の共形変化）という。Riemann 多様体の間の局所微分同相 $\phi:(M,g)\to(N,h)$ が共形写像であるとは、正の滑らかな関数 $\lambda$ で $\phi^*h=\lambda^2g$、すなわち $h(d\phi_p v,d\phi_p w)=\lambda(p)^2g(v,w)$ となるものがあることをいう。共形写像である微分同相 $M\to M$ を $(M,g)$ の共形変換ともいう。