楕円型微分作用素と主表象

定義 2.3（「指数定理」§2）

$M$ を境界のないコンパクト $C^\infty$ 多様体、 $E, F \to M$ を複素ベクトル束とします。微分作用素 $D : \Gamma^\infty(E) \to \Gamma^\infty(F)$ が階数 $m$ であるとは、局所座標で

D = \sum_{|\alpha| \le m} a_\alpha(x)\, \partial^\alpha, \qquad a_\alpha(x) \in \operatorname{Hom}(E_x, F_x)

と書けることをいいます。 $(x,\xi) \in T^{*}M$ に対し

\sigma_m(D)(x,\xi) := \sum_{|\alpha| = m} a_\alpha(x)\, (i\xi)^{\alpha} \in \operatorname{Hom}(E_x, F_x)

を主表象と呼びます。これは座標の取り方に依らず定まります。すべての $x \in M$ とすべての $\xi \ne 0$ に対して $\sigma_m(D)(x,\xi)$ が可逆であるとき、 $D$ は楕円型であるといいます。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。