数学 › 微分幾何学 › 測地線と完備性

Riemann 沈め込みは長さを縮める

命題 8.2（「測地線と完備性」§8） ・ ✓公理まで証明済み

π:(M,g)→(B,h)\pi:(M,g)\to(B,h) を Riemann 沈め込みとする。

  1. v∈TpMv\in T_pM について ∣dπpv∣≤∣v∣|d\pi_pv|\le|v| で、等号は vv が水平のときに限る。
  2. 区分的に滑らかな曲線 cc について L(π∘c)≤L(c)L(\pi\circ c)\le L(c) で、cc が水平なら等号が成り立つ。
  3. MM が連結なら BB も連結で、dB(π(p),π(q))≤dM(p,q)d_B(\pi(p),\pi(q))\le d_M(p,q) である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。