正則関数・正則写像・双正則写像・複素 Lie 群

$X,Y$ を複素多様体とする。連続写像 $f:X\to Y$ が正則であるとは、$X$ の任意の正則チャート $(U,\varphi)$ と $Y$ の任意の正則チャート $(V,\psi)$ について、$\psi\circ f\circ\varphi^{-1}$ が $\varphi(U\cap f^{-1}(V))$ 上で正則写像であることをいう。$Y=\mathbb{C}$ のとき $f$ を正則関数といい、$X$ の開集合 $U$ 上の正則関数の全体を $\mathcal{O}(U)$ と書く。正則な全単射で逆写像も正則なものを双正則写像という。複素多様体 $G$ が群でもあり、積 $G\times G\to G$ と逆元 $G\to G$ が正則写像であるとき、$G$ を複素 Lie 群という。