正則アトラスと複素多様体

$X$ を位相空間とする。$X$ の開集合 $U$ と、$\mathbb{C}^n$ の開集合の上への同相写像 $\varphi:U\to\varphi(U)$ の組 $(U,\varphi)$ を $n$ 次元複素チャートという。複素チャートの族 $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ が $n$ 次元正則アトラスであるとは、$\bigcup_\alpha U_\alpha=X$ で、すべての $\alpha,\beta$ について変換関数

が正則写像であることをいう。二つの正則アトラスは、合併がまた正則アトラスになるとき同値であるという。Hausdorff で第二可算な位相空間 $X$ と、その $n$ 次元正則アトラスの同値類の組を $n$ 次元複素多様体といい、$\dim_{\mathbb{C}}X=n$ と書く。同値類に属するアトラスのチャートを $X$ の正則チャート、その成分 $\varphi=(z_1,\dots,z_n)$ を正則座標という。連結な 1 次元複素多様体を Riemann 面という。