数学 › 複素幾何 › 概複素構造と Dolbeault コホモロジー

実ベクトル空間の複素構造

定義 2.1（「概複素構造と Dolbeault コホモロジー」§2）

VV を有限次元実ベクトル空間とする。線型写像 J:V→VJ:V\to V で J2=−idJ^2=-\mathrm{id} を満たすものを VV の複素構造という。(a+ib)v=av+bJv(a+ib)v=av+bJv により VV は複素ベクトル空間になる。VV の複素化を VC=V⊗RCV_{\mathbb{C}}=V\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C} と書き、JJ を複素線型に延ばす。VCV_{\mathbb{C}} 上の複素共役を v⊗c‾=v⊗cˉ\overline{v\otimes c}=v\otimes\bar c で定める。

V1,0={w∈VC:Jw=iw},V0,1={w∈VC:Jw=−iw}V^{1,0}=\{w\in V_{\mathbb{C}}:Jw=iw\},\qquad V^{0,1}=\{w\in V_{\mathbb{C}}:Jw=-iw\}

とおく。また、実線型写像 V→CV\to\mathbb{C} の全体を VC∗V^{*}_{\mathbb{C}} と書き（VCV_{\mathbb{C}} の複素双対と同一視される）、

V∗1,0={α∈VC∗:α(Jv)=iα(v)},V∗0,1={α∈VC∗:α(Jv)=−iα(v)}V^{*1,0}=\{\alpha\in V^{*}_{\mathbb{C}}:\alpha(Jv)=i\alpha(v)\},\qquad V^{*0,1}=\{\alpha\in V^{*}_{\mathbb{C}}:\alpha(Jv)=-i\alpha(v)\}

とおく。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。