複素数体

集合 $\mathbb{C} := \mathbb{R}^2 = \{(a,b) \mid a, b \in \mathbb{R}\}$ の上に、二つの演算を

で定める。この演算を備えた $\mathbb{C}$ を複素数体、その元を複素数という。

$1 := (1,0)$、$i := (0,1)$ と書く。複素数 $z = (a,b)$ に対し $a$ を実部、$b$ を虚部といい、$\operatorname{Re} z := a$、$\operatorname{Im} z := b$ と書く。$\operatorname{Im} z = 0$ である複素数を実数と同一視し、$\operatorname{Re} z = 0$ かつ $z \ne 0$ である複素数を純虚数という。