加群の局所化

$S$ を $A$ の積閉集合、$M$ を $A$ 加群とする。$M \times S$ 上の関係 $(m, s) \sim (m', s') \iff$ ある $u \in S$ で $u(s'm - sm') = 0$ による同値類 $m/s$ の全体 $S^{-1}M$ に、$m/s + m'/s' = (s'm + sm')/ss'$、$(a/t)(m/s) = am/ts$ で $S^{-1}A$ 加群の構造を入れたものを $M$ の局所化という。準同型 $f\colon M \to N$ に対し $S^{-1}f(m/s) = f(m)/s$ とする。$A_{\mathfrak{p}}$、$A_f$ と同じく $M_{\mathfrak{p}}$、$M_f$ と書く。