イデアルの和・積・共通部分・商

$\mathfrak{a}, \mathfrak{b}$ を環 $A$ のイデアルとする。

1. 和 $\mathfrak{a} + \mathfrak{b} = \{ a + b : a \in \mathfrak{a},\ b \in \mathfrak{b} \}$、共通部分 $\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}$。
2. 積 $\mathfrak{a}\mathfrak{b}$ は、積 $ab$（$a \in \mathfrak{a}$、$b \in \mathfrak{b}$）の有限和全体。$\mathfrak{a}^n$ は $\mathfrak{a}$ の $n$ 個の積。
3. イデアル商 $(\mathfrak{a} : \mathfrak{b}) = \{ x \in A : x\mathfrak{b} \subseteq \mathfrak{a} \}$。とくに $(0 : \mathfrak{b})$ を $\mathfrak{b}$ の零化イデアルという。

いずれも $A$ のイデアルであり、$\mathfrak{a}\mathfrak{b} \subseteq \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}$、$\mathfrak{a} \subseteq (\mathfrak{a} : \mathfrak{b})$ が成り立つ。