代数閉体・代数的集合

定義 4.2（「Noether の正規化と Hilbert の零点定理」§4）

体 $k$ が代数閉体であるとは、 $k[t]$ の次数 $1$ 以上の多項式がすべて $k$ に根をもつことをいう。 $k[x_1, \ldots, x_n]$ の部分集合 $J$ と $X \subseteq k^n$ に対し

\mathbf{V}(J) = \{ a \in k^n : \text{すべての } f \in J \text{ で } f(a) = 0 \}, \qquad \mathbf{I}(X) = \{ f \in k[x_1, \ldots, x_n] : \text{すべての } a \in X \text{ で } f(a) = 0 \}

とおく。 $\mathbf{V}(J)$ の形の集合を代数的集合という。 $a \in k^n$ に対し $\mathfrak{m}_a = (x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n)$ と書く。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。